Muitos estudantes que estudam matemática avançada em cursos avançados provavelmente se perguntaram: onde as equações diferenciais (DEs) são usadas na prática? Como regra, esse assunto não é discutido em palestras e os professores imediatamente seguem para a solução da teoria de controle sem explicar aos alunos o uso de equações diferenciais na vida real. Vamos tentar preencher essa lacuna.
Começamos definindo uma equação diferencial. Portanto, uma equação diferencial é uma equação que relaciona o valor de uma função derivada à própria função, os valores de uma variável independente e alguns números (parâmetros).
A área mais comum em que as equações diferenciais são aplicadas é a descrição matemática dos fenômenos naturais. Eles também são usados na solução de problemas onde é impossível estabelecer uma relação direta entre alguns valores que descrevem um processo. Tais tarefas surgem na biologia, na física e na economia.
Em biologia:
O primeiro modelo matemático substancial que descreve comunidades biológicas foi o modelo de Lotka-Volterra. Descreve uma população de duas espécies interagindo. O primeiro deles, chamado predadores, morre de acordo com a lei x '= –ax (a> 0) na ausência das segundas e as segundas vítimas, na ausência de predadores, multiplicam-se ilimitadamente de acordo com a lei de Malthus. A interação dessas duas espécies é modelada da seguinte forma. As vítimas morrem a uma taxa igual ao número de encontros de predadores e vítimas, que neste modelo é considerado proporcional ao número de ambas as populações, ou seja, igual a dxy (d> 0). Portanto, y '= by - dxy. Os predadores se reproduzem a uma taxa proporcional ao número de presas comidas: x '= –ax + cxy (c> 0). Sistema de equações
x '= –ax + cxy, (1)
y '= por - dxy, (2)
Ao descrever essa população, um predador é uma presa e é chamado de sistema de bandejas - Volterra (ou modelo).
Em física:
A segunda lei de Newton pode ser escrita na forma de uma equação diferencial
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), onde m é a massa do corpo, x é sua coordenada, F (x, t) é a força que age sobre o corpo com a coordenada x no tempo t. Sua solução é a trajetória do corpo sob a ação da força indicada.
